# 跟着算：晶体学、织构与 EBSD 的十二个演算

这些是课堂条件，用于练习推导与判断。它们不代表某种材料的实测数据或通用分析参数。先自己算，再读最后的解释。章节中的完整理论和适用条件仍是计算的依据。

## 1. 非立方晶体：为什么不能直接点乘指数

设六方基面两基矢长度都是 a，夹角 120°。求三指数方向 [100] 与 [110] 的夹角。

1. 写真实向量：r₁=a₁，r₂=a₁+a₂。
2. 点积 r₁·r₂=a²+a²cos120°=a²/2。
3. |r₁|=a；|r₂|²=a²+a²+2a²cos120°=a²。
4. cosθ=(a²/2)/(a·a)=1/2，因此 θ=60°。

若误将指数 (1,0) 和 (1,1) 当直角分量，会算出 45°。错在尺子的夹角，并不是反余弦函数错了。六方四指数让等价基面方向更容易辨认，但不免除晶体度量。

## 2. 由平面方程推出面间距

立方晶体晶格常数 a=0.4 nm，求 (111) 面间距。

1. 基矩阵 A=aI，倒易基 A⁻ᵀ=I/a；此处不含 2π。
2. n*=(1,1,1)/a；其长度为 √3/a。
3. 相邻平面满足 n*·r=m 和 m+1，沿单位法向移动 d 后有 d|n*|=1。
4. d=1/|n*|=a/√3≈0.23094 nm。

若再令一级衍射 λ=0.154 nm，由 2d sinθ=λ 得 sinθ≈0.33342，θ≈19.48°，仪器常用的衍射夹角为 2θ≈38.95°。不要混淆 θ 与 2θ，也不要认为所有几何允许的晶面都会给出非零结构因子。

## 3. 一根极点不能确定一个完整取向

采用 R=Rz(φ₁)Rx(Φ)Rz(φ₂)，晶体→试样。设 φ₁=0°、Φ=60°，φ₂ 任意。

1. Rz(φ₂)[001]=[001]，最后这个右侧旋转不改变被跟踪的极。
2. Rx(60°)[001]=(0,−√3/2,1/2)。φ₁=0°，所以 PF 向量就是这个结果。
3. 不论 φ₂ 是 0°、20° 还是 80°，PF 中该极的位置相同。
4. IPF 计算 RᵀND，结果为 (sinφ₂ sinΦ,cosφ₂ sinΦ,cosΦ)，会随 φ₂ 改变。

这里显示的是一个指定极的原始方向。对称等价和半球折叠会进一步改变展示方式，但不能把丢掉的第三个旋转自由度恢复回来。

## 4. 同一方向，三种投影

方向极角 θ=60°、方位角 ψ=30°。都将方位保留为 ψ。

1. 极射投影：r=tan(θ/2)=1/√3≈0.57735。
2. 平面坐标 x=r cosψ=0.5，y=r sinψ≈0.28868。
3. 归一化等面积投影：r=√2 sin(θ/2)=1/√2≈0.70711；x≈0.61237，y≈0.35355。
4. 球心投影：r=tanθ=√3≈1.73205。

极射投影来自南极到球面点连线与赤道面的交点；等面积公式来自球冠面积 2π(1−cosθ) 与圆面积 πr² 成比例；球心公式来自直角三角形。三者没有移动空间中的晶向，只是换了画法。

## 5. 把 m.r.d. 正确换成一个区域的比例

在完整 SO(3) Bunge 参数范围取 φ₁、φ₂ 各宽 60°，Φ 在 35°–55°。假定此小区域内 f≈5 m.r.d.。

1. 随机取向的测度 dμ=sinΦ dφ₁dΦdφ₂/(8π²)。
2. 两个 60° 区间各占完整圆周 1/6。
3. Φ 部分的随机概率为 ∫₃₅°⁵⁵° sinΦ dΦ/2=(cos35°−cos55°)/2≈0.122788。
4. 整个区域 μ=(1/6)²×0.122788≈0.00341078，即约 0.3411%。
5. 材料比例约为 5μ≈1.7054%，并不是 5%。

这一计算没有假设整张 ODF 恒等于 5。若全空间如此，积分会等于 5 而非 1，不满足归一化。按晶体和试样对称约化后，应使用与该区域配套的测度和归一化。

## 6. KAM、GROD、GOS、GAM 的区别

先看同一旋转轴下的三个点，角位置为 0°、1°、2°，等权且都在同一晶粒。这里只是小旋转教学例，可以用角位置直接计算。

1. 晶粒均值方向为 1°。
2. GROD 角度为 |0−1|、|1−1|、|2−1|，即 1°、0°、1°。
3. 按本文的平均 GROD 定义，GOS=(1+0+1)/3=2/3°。
4. 相邻点只有 0↔1 和 1↔2，邻点差都是 1°；不筛选时各点 KAM 都是 1°，此例对应平均局部差 GAM=1°。
5. 换成四邻点核差 0.2°、0.4°、0.6°、7°，若排除 ≥5° 的点，KAM=1.2/3=0.4°。

前一例 GOS 和 GAM 不同，因为参考不同。真实三维旋转不能把三个 Euler 角分别照此平均，必须在旋转空间和对称性下求参考。

## 7. 为什么两种“平均粒径”差很多

两颗近圆晶粒直径分别为 2 μm 和 10 μm。

1. 随机选一颗晶粒：数目平均 dN=(2+10)/2=6 μm。
2. 各粒面积分别正比于 2² 与 10²，比例为 4:100。
3. 随机选一个材料位置：面积加权平均 dA=(4×2+100×10)/(4+100)≈9.6923 μm。

两种平均分别回答不同的问题。二维截面上的圆等效尺寸，也不能无条件叫作三维晶粒平均直径。

## 8. 从转角到 GND 量纲，再看缺失信息

单一小角度弯曲模型取 θ=0.5°，L=1 μm，b=0.25 nm。

1. 转弧度 θ=0.5π/180≈0.00872665。
2. 小角度位错阵列 θ≈b/D，故 D≈b/θ。
3. 若该阵列的净转动分布到宽度 L，线密度尺度为 ρ≈1/(DL)=θ/(bL)。
4. SI 单位代入：ρ≈0.00872665/[(2.5×10⁻¹⁰)(10⁻⁶)]≈3.49×10¹³ m⁻²。

完整曲率 κᵢⱼ=∂θᵢ/∂xⱼ。若仅测 x₁–x₂ 平面，就缺 κ₁₃、κ₂₃、κ₃₃。按正文约定 α=κᵀ−trκ I，可求 α₁₂、α₁₃、α₂₁、α₂₃、α₃₃ 及 α₁₁−α₂₂。五个分量加一个组合并不是九个独立分量。拟合多个位错类型前，先承认缺失约束。

## 9. Schmid 因子的手算与上限

立方晶体取向 R=I，单轴沿 [001] 拉伸。候选滑移系 (111)[10−1]。

1. n=(1,1,1)/√3，s=(1,0,−1)/√2，先检查 n·s=0。
2. 载荷单位轴 L=(0,0,1)。n·L=1/√3，s·L=−1/√2。
3. m=(s·L)(n·L)=−1/√6≈−0.408248；绝对值为 0.408248。
4. 若名义应力为课堂设定的 100 MPa，名义分切应力 τ=−40.8248 MPa。真实多晶局部应力不一定等于这个单轴名义值。
5. 因 n、s 正交，可把 L 在两者上的分量记为 a、b，有 a²+b²≤1。由 2|ab|≤a²+b²，得到 |m|≤1/2。

负号表示相对于所选 s 的剪切方向。一般滑移的几何排序常看绝对值，孪生具有极性，不能随意将有符号驱动改成绝对值。CRSS 不同也可能改变先后活动顺序。

## 10. 同一条迹线，至少三个方向候选

仍取 R=I、面 (111)，表面 N=[001]。

1. 交线方向 t∝n×N∝(1,−1,0)，归一化后 t=(1,−1,0)/√2。
2. (111) 内的 [10−1]、[01−1]、[1−10] 都满足面内条件。
3. 三个方向共享同一面，因此给出同一条理论迹线。
4. 沿 [001] 加载时，前三者中前两个 |m|=1/√6，第三个 m=0。

迹线约束面，载荷几何进一步区分驱动力，但仍不足以单独确认实际滑移方向。观察线是无向的，理论与实验比较用 acos(|t₁·t₂|)，而不是让相反箭头产生 180° 假误差。

## 11. 滑移传递：m′ 与残余 b 分别保留什么

两晶粒候选系的面法向夹角 ψ=10°，方向夹角 κ=20°。Burgers 长度相同为 b。

1. Luster–Morris 型几何匹配 m′=|cosψ cosκ|≈0.9254。
2. 对给定符号约定，|bres|²=|b₁−b₂|²=2b²(1−cosκ)。
3. 因 1−cosκ=2sin²(κ/2)，得到 |bres|=2b sin(κ/2)≈0.3473b。

m′ 同时使用面与方向的接近程度，残余矢量式直接关心 Burgers 矢量差。两者都没有单独给出实际界面上的反应能、局部驱动力或全部三维边界几何，所以高 m′ 是有利候选，不能直接证明已发生传递。

## 12. 母相重构：为什么转置在右边

用 Q 表示子晶体坐标到母晶体坐标的取向关系，Rp 表示母晶体到试样。取一个子相向量 vc。

1. 先从子相到母相：vp=Qvc。
2. 再从母相到试样：vs=Rpvp=RpQvc。
3. 所以子相到试样的取向 Rc=RpQ。
4. 旋转矩阵的逆是转置，因此 Rp=RcQᵀ。
5. 若存在多个相容变体 Qk，每个都产生候选 Rpk=RcQkᵀ。用另一独立子变体和邻接条件求共同候选，而不是仅重复增加同一变体的像素。

变体编号本身没有跨软件普遍意义；记录矩阵或平行面与方向，才知道比较的是同一个关系。对理想 Burgers OR，子相变体数与反向母相候选数还要分别按对应晶体对称去重，不能仅凭一个“12”代替推导。

## 把演算变成自己的分析能力

每次拿到新的软件输出，写出四件事：输入是什么，哪个坐标系，公式如何压缩信息，哪些量仍未测到。再选本篇最接近的简单情形手算一遍。软件结果若无法回到这四件事，就先查定义和参数，暂缓材料机制判断。