EBSD 实操：电子衍射基础
电子衍射从波长到花样：Ewald 球、薄膜、CBED 与进动
亲手从电子能量推出波长，从有限晶体的相位积分推出斑点宽度，再理解 TEM 取向测量为什么既需要几何也需要强度。
先记住这三点
- 电子波长与相机常数
- Ewald 球和激发误差
- SAED、CBED、PED 的选择
1. 电子有多短的波长：把加速电压代入能量守恒
电子经过电势差 U 获得动能 T=eU。低速近似 T=p²/(2m) 给出德布罗意波长 λ=h/p=h/√(2meU)。TEM 的电压较高，应从总能量关系 (T+mc²)²=p²c²+m²c⁴ 出发：先展开平方，消去两边的 m²c⁴，得到 p²=2mT[1+T/(2mc²)]，因此 λ=h/√{2meU[1+eU/(2mc²)]}。这里 h 为普朗克常数，m 为静止质量，e 为电荷量的绝对值；λ 是长度，不能和单位为长度倒数的倒易矢量混写。
可手算的数量级：mc²约为511 keV；200 kV 时相对论修正因子为√(1+200/1022)≈1.093，λ≈2.51 pm。20 kV 时 λ≈8.59 pm。若晶面间距 d=0.20 nm，20 kV 的一阶 Bragg 角满足 sinθ=λ/(2d)=0.0215，θ≈1.23°。由此直接解释为什么电子衍射的带边很接近、Ewald 球很大，也解释降低电压后 Kikuchi 带变宽。数值是教学计算，不是仪器分辨率承诺。
2. 从相位相加得到选择定则
晶胞内第 j 个原子在分数坐标 (xⱼ,yⱼ,zⱼ)，对 (hkl) 反射的相位差是 2π(hxⱼ+kyⱼ+lzⱼ)。总振幅 Fₕₖₗ=Σⱼfⱼexp[2πi(hxⱼ+kyⱼ+lzⱼ)]。当各原子散射因子fⱼ可视为实数时，把每项写成余弦加i倍正弦，得到 |F|²=(Σfⱼcos2πqⱼ)²+(Σfⱼsin2πqⱼ)²，其中 qⱼ=hxⱼ+kyⱼ+lzⱼ。若fⱼ含复数部分，应对完整复振幅求模，不能直接沿用这个两个实平方和的写法。强度在运动学近似下与 |F|² 成正比，而不是与 F 或原子数直接成正比。
以相同原子的体心立方为例，两位置为 (0,0,0) 和 (½,½,½)，所以 F=f[1+exp(iπ(h+k+l))]。指数和为奇数时相消，为偶数时相加。若两个位置分别被不同元素占据，则 F=fA+fB(−1)^(h+k+l)，奇数反射变成 fA−fB，可能出现有序超点阵反射。由此可看出：反射消失来自原子基元的相位关系，不能只背一句“立方晶体允许哪些晶面”。真实电子衍射还有多重散射，几何禁戒位置的弱强度不能单独证明结构模型错误。
3. Ewald 球是弹性散射的长度约束
本节使用不含2π的波矢，入射 k₀ 和出射 k 的模均为1/λ；散射矢量 q=k−k₀。无限理想晶体的相干极大要求 q 等于某倒易点阵矢量 g。令 k₀ 沿 z，则 |k₀+g|²=|k₀|² 给出 2g_z/λ+|g|²=0。这就是球面，不是平面。小角时 g_z≈−λ(g_x²+g_y²)/2，所以高能电子的球面虽接近 z=0，仍存在曲率。
在屏幕上距直射束的距离 r=Ltan(2θ)。若2θ很小，r≈2Lθ≈Lλ/d，即相机常数 r·d=Lλ。例：L=0.50 m、λ=2.51 pm、d=0.20 nm，得到r≈6.28 mm。要反求d，应先用已知标准标定有效相机长度，不能把镜筒几何长度直接代入。斑点只给小角范围的方向信息，若只把花样当成倒易平面切片，会丢掉高阶Laue带与激发误差携带的信息。
4. 薄膜为什么允许不完全满足 Bragg 条件的反射
把晶体沿束向的有效厚度写成 t，偏离精确衍射条件的量写成 s，单位为长度⁻¹。各深度贡献的相位为2πsz。运动学振幅与积分 A(s)=∫₀ᵗexp(2πisz)dz 有关。积分得 A=t·exp(iπst)·sin(πst)/(πst)，因此 I(s)∝t²sinc²(πst)。第一零点在|s|=1/t；膜越薄，允许的偏离范围越大。倒易点于是沿薄的实空间方向展开成倒易杆。
取t=100 nm，第一零点对应0.01 nm⁻¹；取t=20 nm，增大到0.05 nm⁻¹。因此“看见斑点”不意味着该倒易点恰好落在Ewald球上。利用斑点位置进行高精度取向拟合时，还要考虑其强度、膜厚及动力学行为。这里的sinc²只适用于单次散射近似；多次散射导致的消光振荡在下一篇另行推导。把两套强度公式任意拼接，会使厚度和角度判断失去物理含义。
5. SAED、CBED 与 PED：改变的是哪些约束
SAED 用近似平行束照明，再在像面用选区光阑限定贡献区域；后焦面把方向相同的波聚成斑点。CBED 用会聚束，让同一小区域同时受到一锥入射方向照明，因此每一斑点展开成圆盘，盘内每一位置对应不同的激发误差。小会聚角 SCBED 仍像斑点花样，但空间定位来自小探针，不能和移动选区光阑混为一谈。大角会聚条件还可利用HOLZ线研究对称性和晶格变化。
PED 让入射方向绕固定半角进动，并在样品后去扫描，使斑点不会跟着画圆。若进动方位为φ，记录的是近似积分 I_PED(g)=(1/2π)∫₀²πI[g,s(φ),t]dφ。这增加被激发的反射并减轻对某一个激发误差的依赖，却不意味着厚样品中所有动力学作用都消失。CDFS 则逐个入射方向拍暗场像，再把每个空间像素在各方向的亮度组成虚拟衍射花样；它需要图像配准，采集思想与逐点扫描不同。
6. 一次完整的分析与真实方法案例
练习流程可从一张斑点示意图开始：标直射束中心→标定Lλ→量至少两条不共线反射的半径和夹角→用倒易度量计算候选(hkl)→以第三条反射检验→把已知晶面基架和实测基架对应起来求取向→回投影全部可见反射。对于重叠晶粒，先承认存在多套候选，不用一套取向硬拟合所有斑点。即使探针直径只有几纳米，沿薄膜厚度仍可能穿过多个晶粒，必须报告厚度和重叠处理方式。
Vincent与Midgley在1994年的进动衍射原始论文中，用上下两组扫描实现入射进动与出射去扫描，并讨论Si及Er₂Ge₂O₇的积分反射强度。读该案例时应对应本节的积分：改变入射方向是在扫过衍射条件，而不是增加材料的真实取向数。方法入口为 https://doi.org/10.1016/0304-3991(94)90039-6 。教材第9章的重变形Fe–36Ni案例进一步提醒：沿束向叠加严重的剪切带中，TEM的小探针未必比表面敏感的EBSD更能分开取向。
来源与延伸阅读
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