EBSD 实操：界面几何
界面法向怎么测：从一条迹线到双截面和立体摄影
亲手解出晶界、断口小面和滑移面的三维法向，并追踪试样坐标到晶体指数的每一步。
先记住这三点
- 一条迹线给出一族法向；第二条独立信息才消去缺失自由度。
- 双截面向量必须先在同一个三维坐标中表达。
- 非立方材料的法向分量不能直接当成晶面指数。
一条直线为何不能决定一个面
测量平面法向N=(0,0,1)，单位迹线t=(cosα,sinα,0)。令面内垂线m=N×t=(−sinα,cosα,0)，则候选单位界面法向可写n(β)=sinβ·m+cosβ·N，其中β是法向与N的夹角，与本专题交互图一致。β=90°时法向位于截面内、界面垂直截面；始终有n·t=0。
在0°<β<180°内，β改变界面倾角，却不改变截面上的无向迹线。β=0°或180°时两平面平行或重合，已没有唯一交线，必须排除这个退化情形。极图中的候选法向因此落在以t为极点的大圆上。所谓一条迹线吻合某晶面，只证明它与该面相容，除非另有唯一性条件，否则并未测出完整法向。
双截面法的矢量推导
若同一平面还在第二截面留下迹线t2，把两条迹线都转到共同试样坐标。平面法向同时垂直t1、t2，故n=±(t1×t2)/|t1×t2|。正负表示同一无向平面；讨论从晶粒1指向晶粒2时则需固定符号。
例如XY截面迹线t1=(1,1,0)/√2，XZ截面迹线t2=(1,0,1)/√2。叉乘为(1,−1,−1)/2，归一化n=(1,−1,−1)/√3。代回两条点积均为0；若把第二向量误写成(1,1,0)，叉乘为0，恰好暴露了把两个不同截面都当XY的错误。
平行切片也能提供第二个方向
设相邻两切片在z=0和z=T，同一局部平面与两切片的交线平行。沿首层迹线的面内法向m，第二层迹线偏移O，因此连接两层对应点的向量v=Om+TN也在界面内。
法向满足n·v=0和n·t=0，故可取n=(Tm−ON)/√(T²+O²)。取t=(1,0,0)、m=(0,1,0)、T=2 μm、O=1 μm，可得n=(0,2,−1)/√5；代入边界方程2y−z=0，z=2时y=1，和测量偏移一致。
跟着推导 · 二维缺失的一个角
同一条截面迹线，对应一族晶界面
灰色是观测截面 z=0；绿色是晶界面，粗线是两面的交线。保持迹线方向 α 不动，改变倾角 β，观察三维法向怎样变化。
t = (cosα, sinα, 0)，u = (−sinα, cosα, 0)
n(β) = sinβ u + cosβ Z；n·t = 0，|n| = 1
n × Z = sinβ t：所有这些面都留下同方向的迹线
n = (-0.346, 0.742, 0.574)
为什么直接取截面内垂线会多加一个假设？
截面内垂线 u 是 β=90° 时的法向。将它当完整 n，就假定晶界面垂直于观测截面。二维 EBSD 没有独立测出这个倾角；需要另一个可靠截面、串行切片或其他三维信息增加约束。滑移面已有晶体学候选时可由取向计算法向，但一般晶界不能自动套用这种先验。
采用平面界面的局部模型；同一 n 与 −n 代表无向平面。图为几何投影，不是三维 EBSD 测量结果。
厚度、配准误差如何进入法向
沿用法向与N的夹角β，sinβ=T/√(T²+O²)、cosβ=−O/√(T²+O²)，可用β=atan2(T,−O)避免象限错误。微分给dβ=(T dO−O dT)/(T²+O²)。若误差独立，σβ=√(T²σO²+O²σT²)/(T²+O²)，单位为弧度。上述T=2、O=1的例子给β≈116.565°；若改用无向面取补角，必须同步翻转法向。
两条双截面迹线几乎平行时，|t1×t2|很小，归一化会放大方向误差。平行切片中若层间漂移与O同量级，也会把配准漂移解释成界面倾角。应保存层厚标定、标记点和拟合残差，不只保留最终法向。
立体摄影从两个投影恢复高度
采用绕y轴倾转、正交投影的明确约定，某点在倾角θ的横坐标为xθ=x cosθ+z sinθ，纵坐标y保持不变。两个倾角得到二元方程，消元即x=(x1sinθ2−x2sinθ1)/sin(θ2−θ1)，z=(−x1cosθ2+x2cosθ1)/sin(θ2−θ1)。
若θ1=0°、θ2=30°，某点x1=2 μm、x2=2.732 μm，则x=2 μm，z≈2 μm。还需用相同标尺、倾转轴和位移基准配准两图；整体图像平移不能误当真实高度。至少恢复三个不共线点，才能通过叉乘求小面法向。
从试样法向变到晶体指数
若R是晶体正交坐标到试样的取向矩阵，单位晶体法向为nc=Rᵀns。这一步只改变坐标，不改变真实平面。对立方晶体，可按分量比例寻找低指数(hkl)；对一般晶格，A=[a b c]为实空间基矢矩阵，nc∝A⁻ᵀh，所以h∝Aᵀnc。
例如正交晶格a:b:c=1:2:3，晶体笛卡尔法向nc∝(1,1,1)，对应h∝(1,2,3)，而不是(111)。需要区分“法向在正交坐标中的方向余弦”和“相对于倒易基的整数系数”。
测到曲面时应怎样处理
曲面没有唯一的全局法向。可以在所需物理尺度上拟合局部平面，对一组三维点pi，最小化Σ[n·(pi−p̄)]²并约束|n|=1。把中心化坐标组成协方差矩阵，其最小特征值对应的特征向量就是拟合法向。
拟合窗口太小会追随像素阶梯，太大会抹去真实分面。报告窗口尺寸和法向散布。三维晶界与断口台阶都可能由多个平面段组成，不能把平均面当作每个局部面的晶体学指数。
案例怎样分析，而不是只给一个指数
书中以铜疲劳裂纹与持续滑移带的相互作用说明双截面法：先恢复真正的晶界面，再讨论滑移带撞击和裂纹路径。对于断口小面，立体摄影给几何法向，邻近同一晶粒的EBSD给晶体取向，二者相乘才得到解理或断裂面的候选指数。
将案例迁移到自己的问题时，分别核对“是否同一个晶粒、是否同一个小面、是否同一坐标”。最后给出法向到候选面的夹角acos|nc·nhkl|及不确定度。若多个面族都落在误差范围内，应保留多个候选并寻找第二类证据。
来源与延伸阅读
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