EBSD 实操：位错与应力
GND 从头推导：晶格曲率、Nye 张量与二维反演
由弯曲晶格的几何相容性走到位错密度张量、欠定方程与单位换算，明确哪些来自测量、哪些来自模型。
先记住这三点
- GND 描述指定观察尺度下不相互抵消的净位错内容。
- 二维取向图只提供面内梯度，不能唯一确定三维位错群。
- 角噪声除以步长后被放大，GND 图必须同时说明尺度与模型。
为什么晶格弯曲需要净位错
把晶体想成一排相邻晶格列。若材料中存在系统性的晶格方向变化，而又要保持各处晶格连接，就需要额外半原子面或其他位错内容来补足几何不相容。相反，正负位错在观察尺度上互相抵消时，可以有很多位错而几乎没有净晶格曲率。
GND 与 SSD 不是两种完全不同的基本线缺陷，而是与观察尺度和净几何作用有关的分类。对一个较大的测量区域，内部正负内容可能抵消；缩小到能分开它们的尺度时，就会看到局部净内容。
先用低角度倾斜边界推导量纲
简化为间隔 D 的平行刃位错组成小角度倾斜边界。几何关系为 2sin(θ/2)=b/D；小角度弧度制下 θ≈b/D。若把这样的转动分布到宽度 L 内，单位体积的线长数量级为 ρ≈1/(DL)≈θ/(bL)。
例如课堂设 θ=0.5°=0.008727 rad，b=0.25 nm=2.5×10⁻¹⁰ m，L=1 μm=10⁻⁶ m，则 θ/(bL)≈3.49×10¹³ m⁻²。它是单一几何模型的估计，不是某材料实测值。角度若忘记从度转弧度，会带来约 57.3 倍错误。
从 Burgers 回路到张量
对连续位错分布，穿过面积元 dS、法向为 n 的净 Burgers 矢量可写 dB=αn dS。αij 表示法向 j 的单位面积上，第 i 方向的净 Burgers 矢量内容，单位为 m⁻¹。它不同于常说的标量线密度 ρ，其单位是 m⁻²。
若第 a 类位错的 Burgers 矢量为 ba、单位线方向为 ta、有符号线密度为 ρa，则 α=Σaρa ba⊗ta，分量为 αij=Σaρa ba,i ta,j。因为 m⁻²×m=m⁻¹，量纲一致。取反线方向或 Burgers 矢量时，需要相应调整符号约定，不能把有符号求和提前改为绝对值求和。
跟着推导 · 教学几何
GND：从转角、长度到密度量纲
先看最简单的晶格弯曲模型，再进入正文中的张量推导。把同样转角压缩到更短距离，会需要更大的净位错密度尺度。
小角倾斜阵列：θ ≈ b / D；线密度尺度：ρ ≈ 1 / (D L) = θ / (b L)
θ = 0.008727 rad；b = 2.50e-10 m；L = 1.00e-6 m
ρ ≈ 3.491e+13 m⁻²
为什么这里不能直接填 KAM，就称作完整 GND？
KAM 将不同邻点角差压成一个标量，丢掉了旋转轴、空间方向和分量。这个单一弯曲模型只给量纲与几何直觉。完整曲率反演需要 κ、Nye 张量、位错系统和选解条件，二维缺失的导数也不能自动补为零。
线段代表局部晶格朝向，非真实位错图像；密度为指定简化模型的课堂计算。
不相容性为什么表现为 curl
在小畸变理论中，总位移梯度 β=∇u 可分成弹性畸变 βe 与塑性畸变 βp。单值且光滑的位移场满足 curl(∇u)=0，因此两者的旋度互相抵消。本章约定 αij=εjkl∂βp,il/∂xk=−εjkl∂βe,il/∂xk，εjkl 是 Levi-Civita 交替符号。
这个定义对应按行取旋度及特定 Burgers 回路方向。文献可能整体反号或转置，比较前必须统一约定。重要的物理内容是：沿闭合路径积累的失配由位错提供，而不是把任意空间取向差都直接称为应变。
旋转梯度怎样变成 Nye 张量
写 βe=εe+ω，将弹性对称应变与反对称旋转分开。小旋转向量 θ 满足 ωil=−εilmθm。定义曲率 κmk=∂θm/∂xk，忽略弹性应变梯度时，代入上式得 αij=εjklεilmκmk=κji−δij trκ，即 α=κᵀ−tr(κ)I。
这一步使用了小畸变和忽略应变梯度的近似。若弹性应变梯度不可忽略，还应保留 −curl εe。常规取向图不能直接给出这部分；HR-EBSD 可提供更多相对应变信息，但仍需处理参考和二维采样。大取向差也不能把 Euler 角导数当作小旋转向量导数，应采用相对旋转与相应有限旋转框架。
二维地图到底缺了什么
若扫描面是 x1–x2，能估计 κi1、κi2，缺少 ∂θi/∂x3。于是可得到某些 α 分量及组合，但不是完整九分量张量。例如在上述约定下，α12=κ21、α13=κ31、α21=κ12、α23=κ32、α33=−κ11−κ22，以及 α11−α22=κ11−κ22 可由面内曲率约束。
缺失导数应记为未测，而不是写成 0。若软件最后输出完整张量，缺失部分可能来自所选位错群与优化的补全。这是模型给出的一个可行解释，不能把补全值再当成独立实验观测。
从张量反演各类位错
把测得的独立约束排成向量 y，把候选位错张量 ba⊗ta 的相应分量排成列，得到 Aρ≈y。候选位错类型通常多于独立约束，因此多组 ρ 可以产生相同可测曲率。常见选解方式是最小化 Σua|ρa|，ua 表示相对线能等权重，并允许测量误差范围。
刃、螺和不同 Burgers 矢量的权重、允许位错集合、相、晶格参数都会影响解。未加权 Σ|ρa|、能量加权 Σua|ρa| 和直接张量范数是不同标量。软件字段名字叫“GND”时，务必核查它具体返回哪一种，不能一概写成真实总位错密度。
噪声下限为什么随步长改变
若取向角的不确定度数量级为 δθ，差分曲率误差约为 δκ∼δθ/Δx，相应密度尺度为 δρ∼δθ/(bΔx)，几何系数取决于差分和相关性。δθ=0.1°、b=0.25 nm、Δx=0.1 μm 时，这个量级约为 7.0×10¹³ m⁻²。仍然是课堂估算，并非仪器通用检出限。
更小步长既可能分辨以前被平均掉的真实结构，也可能提高导数噪声。不能简单断言步长越小 GND 越准确。晶界跳变也不宜作为平滑晶格曲率跨界差分，必须分晶粒处理并标记边缘有效性。
单位与可复现报告
若坐标用 μm、Burgers 长度用 Å，反演系数可能处于 1/(μm·Å)，转换到 m⁻² 需要乘 10¹⁶。若晶格常数已用 m 或 nm，则转换因子不同。只抄一个 10¹⁶ 而不看单位，可能产生巨大错误。
完整报告写明：相与晶格参数、取向约定、扫描面、步长、降噪、梯度算法、边界处理、缺失导数、位错集合、能量权重、求解约束、输出定义和单位。对数色标应说明范围，零值和缺失值不能偷偷变成最低颜色。
净 Burgers 内容与回路积分
按本章符号约定，穿过曲面 S 的净 Burgers 矢量 B=∫Sαn dS=−∮∂Sβe dl。这由 Stokes 定理得到：面积上的旋度积分等于边界上的环量。它将分布式不相容性与围绕一块区域的闭合失配联系起来。单位是长度；除以面积后得到净 Burgers 内容的面密度，仍不同于所有位错线长度之和。
加权 Burgers 矢量等分析利用这类可测净内容约束，避免将每个信号立即拆成唯一位错类型。但只有二维旋转数据时，仍需说明可用畸变分量、应变梯度近似和尺度。闭合回路内正负内容会抵消，所以回路信号小不意味着区域内缺陷总量小。
怎样解释一张 GND 图
高值说明在当前尺度、误差和模型下，需要较多净位错内容解释测得的曲率。低值不证明没有位错，也不证明没有经历塑性变形；SSD、未测导数和分辨率限制仍可能重要。模型估计有时被称为下限，但噪声可使结果向上偏，不能把每个像素都视为严格数学下界。
比较两种材料时，先统一可比较的采样与模型条件，再讨论高值区域与晶界、滑移带或相界的对应。下一篇铜拉伸案例会将这条推理落实到真实研究问题。
来源与延伸阅读
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