织构分析：织构数学推导
不完整极图怎么求 ODF：把掩膜、归一因子和最小二乘一起推完
从缺失角域破坏正交开始，逐步建立联合归一化方程，演算一个小系统，并解释权重、条件数和正则化。
先记住这三点
- 未测区域不是零密度；只在已测区域求系数会产生基之间的混合。
- 归一化尺度与 ODF 系数可在带常数约束的模型中联合估计。
- 回算吻合只检验观测区域，不能自动证明未测区域正确。
缺一圈为什么不能直接积分提系数
完整球面上 ∫KₐKᵦdΩ=δₐᵦ；若仪器只测到 θ≤θmax，积分变成 Gₐᵦ=∫M(y)KₐKᵦdΩ，M 为测量掩膜。一般 G 不再是单位矩阵，因此 ∫MPKₐ 不等于真实系数，而是各系数经 G 混合后的结果。
把缺失区填零再展开，相当于把未知密度断言为零，会在掩膜边缘制造人为突变及高阶波纹。按“未测区等于随机密度 1”补值也是模型假设。更稳妥的做法是在测得的位置建立前向方程，让未测区由明确的有限模型和约束决定，并报告其推断性质。
写出每一个测点的预测值
选一组已满足晶体和试样对称的 ODF 基，将归一化常数项单独提出：f(R)=1+ΣₖcₖTₖ(R)，其中 ∫Tₖdμ=0。对第 j 张 PF、第 i 个已测方向，前向变换给 Pⱼᵢ=1+ΣₖAⱼᵢ,ₖcₖ。A 可由上一章极图系数关系计算，里面包含法向、方向和基函数。
仪器校正后的相对强度 qⱼᵢ 仍可能带未知尺度，设归一化后密度为 Nⱼqⱼᵢ。于是每个测点的残差为 rⱼᵢ=Nⱼqⱼᵢ−1−ΣₖAⱼᵢ,ₖcₖ。Nⱼ 是每张 PF 的归一因子，不能在只有部分覆盖时无条件用可测区域平均值求出。
把最小二乘从残差一步步写出
定义 E=Σⱼᵢwⱼᵢrⱼᵢ²。先把所有 cₖ 与 Nⱼ 组成一个未知向量 x，并把各行写为 Bᵢx−1：B 对 c 的列是 −A，对对应 Nⱼ 的列是 q，其余尺度列为零。这样 E=(Bx−1)ᵀW(Bx−1)，其中 W 为正权重对角阵。
求导得到 ∂E/∂x=2BᵀW(Bx−1)。令其为零，得到正规方程 BᵀWBx=BᵀW1。书中 §2-8 将各积分和下标逐项展开，形式看起来很长，但核心就是这一步。实际计算通常用 QR 或 SVD 求解，避免显式求逆进一步放大病态。
跟着推导 · 信息怎样丢失
测得的曲线相同，原分布可以不同
先用圆周上的简单模型理解“零空间”。仪器若只记录相反两个方向的平均，能否分辨隐藏的方向偏好？改变 a，看真实分布与测量曲线各怎样变化。
f(θ) = 1 + a cosθ，|a| ≤ 1 保证非负；∫₀²π f(θ)dθ/(2π) = 1
P(θ) = [f(θ)+f(θ+π)]/2 = 1，因为 cos(θ+π) = −cosθ
此处 f(60°) = 1.300，反向密度 = 0.700，平均仍为 1.000
增加采样点，或要求分布非负，能恢复 a 吗？
都不能。无论测多少角度，P 始终为 1；而区间 −1≤a≤1 内每个解都已非负。把 a 选成 0 可以是某种平滑或最小范数选择，但不能说测量证明真实 a=0。需要能区分相反方向的新观测，才能增加这项约束。
这是圆周平均算子的严格教学例，不是某晶体的完整 ODF。真实 PF–ODF 变换还含绕极点积分、SO(3) 基函数与晶体/试样对称；请接着读球谐与极图反演章节。
为什么固定常数项不可省略
如果把 ODF 的常数项也自由缩放，同时让所有 Nⱼ 自由，那么把所有未知量缩小到零就可能得到一个无意义的零解，或产生尺度不确定。固定 ∫f=1，也就是固定上述常数 1，才把概率密度的绝对尺度钉住。
这里“固定常数项”为归一约束，“要求 f≥0”为物理约束，“只保留有限基”为分辨尺度假设；它们各解决不同问题。可在取向网格上施加 1+Tc≥0，并限制 Nⱼ>0。仅在有限网格检查非负，也应注意网格间仍可能出现小负值。
先固定 ODF，亲手求一个归一因子
若 c 已知，则第 j 张 PF 的预测 pᵢ=1+(Ac)ᵢ 已知。令 ∂E/∂Nⱼ=0，可得 Σᵢwᵢqᵢ(Nⱼqᵢ−pᵢ)=0，因此 Nⱼ=Σwᵢqᵢpᵢ/Σwᵢqᵢ²。这是一个一维最小二乘投影，并不是简单把 q 的平均值倒过来。
若反过来固定 N，就可解 c 的线性最小二乘。交替两步是易于理解的教学实现，但不一定比联合求解稳定或快。毛书的“二步法”先沿方位角积分再估尺度，减少了需要处理的信息；其历史动机包括当时的计算成本，不能无条件认为与全测点联合解完全一样。
两点手算一个完整小系统
设只有一个非恒定模式，两个观测点上 A 分别为 +1、−1；测得 q₁=3、q₂=1。未知为 c、N。前向方程是 3N=1+c、N=1−c。两式相加得到 4N=2，所以 N=0.5；代回得 c=0.5，预测密度为 1.5 和 0.5。
若只测到第一个点，则 3N=1+c 只有一个方程，两未知可取很多组合。这说明缺少覆盖导致信息不足。实际 PF 的常数归一是整个球面意义上的约束，并非两个点必然等面积；这里人为选取 ±1 模式仅用于演示方程怎样解，不能用作真实实验模板。
权重为什么不能只按“低指数更可靠”给定
若目标是近似一个连续的面积积分，权重应含 ΔΩ；若目标是独立计数观测的统计似然，则应依据各点误差方差构造权重。二者可在明确的连续误差模型中组合，但不应未经说明就机械相乘。扣背景、除离焦响应以后，各点误差通常不再相同。
一个反射即使指数较低，也可能有严重峰重叠、吸收或粗晶统计问题。书中建议给不同反射经验权重，应理解为需要结合实际精度；现代分析应尽量由计数、响应修正及重复性估计误差，并保存权重依据。极弱数据赋过高权重会驱动 ODF 去追随噪声。
病态和正则化到底在做什么
若 B 的两列很接近，改变某两个系数可以相互抵消，残差变化很小；这就是病态。SVD 把 B 分成若干可观测方向，较小奇异值对应数据不敏感的组合。增加反射、改善角覆盖或降低展开阶数，可以改变这些约束。
若加 λ‖Lc‖²，求解目标变成数据残差加平滑惩罚，正规方程相应多出 λLᵀL。较大的 λ 抑制不稳定细节，但也会抹平窄峰。正则化是在信息不足时选择较平滑的相容解，不是补测了遗漏区域。报告结果时应给 λ 的选择依据或等效的带宽设置。
回算检查要查什么，不能证明什么
先把求出的 ODF 正向算回所有已测 PF，保留相同掩膜和色标，再检查残差是否集中在高倾角、低强度或某一反射。系统性残差常提示几何修正、峰重叠或模型对称错误；近似随机残差才可能符合统计误差。
还可报告积分加权的平方残差及各反射分别的误差，而不是只给一个总体数字。未测区域的预测应与观测区别标注。不同 ODF 在已测区都吻合时，应比较它们对关键组分份额、纤维宽度或性能预测造成多大变化，而不是挑最漂亮的一张作为唯一答案。
把算法放回实际纯铁轧制案例
毛书 pp.103–109 用纯铁与超低碳钢的多个不完整极图研究 α、γ 纤维。这种研究需要把不同压下量放在可比较的密度尺度上，归一化偏差会被错误读成纤维增长。正确分析应先保证测量覆盖、校正、展开与尺度处理一致，再讨论各纤维的变化。
初学者可以按“列出面族与覆盖→写 q 和掩膜→选对称基与截断→联合估 c、N→回算→积分组分→解释工艺”复述整个流程。直到能说明 N 的来源和未测区域的地位，才算理解软件中一次 pole figure inversion 背后发生了什么。
来源与延伸阅读
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