晶体几何、坐标与投影操作教程
把指数转换成向量，再用取向矩阵生成 PF 与 IPF；从一个晶粒手算开始。
- 晶格基与单位法向
- 经过物理方向核对的取向矩阵
- 带轴标和投影定义的 PF/IPF
怎样学这一专题
第一次读，按目录从晶格度量到 ODF 顺序推进。每遇到一个公式，先找变量在哪个坐标系、有什么单位，再用文中的小例子验算。懂得正向计算以后再学反演，会更容易理解为什么存在多解。
正文将书中知识重新组织为问题、变量、推导、参数与应用。课堂数值用于手算；论文实例注明来源，测量结果与模型推断分别解释。
继续学习 EBSD 各项分析 →按前后关系学习
完整正文与推导目录
每章独立展开，
上一篇、下一篇保持学习顺序。
晶体学、数学准备与旋转
从点阵和衍射出发，能转换指数、方向、法向和完整旋转。
9 篇正文织构究竟是什么：从一块轧板开始，把结构、组织和取向分清
从轧板沿不同方向拉伸的差别出发，建立单个晶粒的取向、多晶体的织构与空间微织构之间的联系。
读推导与实例 ↗推导前的数学桥梁：从点积、矩阵到积分、梯度和约束
把后面会反复用到的数学操作从几何意义讲起；遇到新符号时能辨认它是什么对象、怎样算、为什么有用。
读推导与实例 ↗从晶格基矢推到晶面法向：Miller 指数、倒易基与六方四指数
一步步从位置向量和点积推出晶面法向、面间距与晶带定律，解释为什么六方指数不能直接当作直角坐标。
读推导与实例 ↗从光程差到菊池带：Bragg 定律、结构因子和衍射几何的连续推导
先用两束波推出 Bragg 条件，再用原子散射相位解释消光，最后说明 EBSD 为什么可以通过菊池带恢复取向。
读推导与实例 ↗从 HCP 消光到有序合金超点阵峰：结构因子怎样区分晶格、基元和织构
在已学的 BCC/FCC 结构因子之后，继续推导 HCP 两原子基元、L1₂有序结构和 Friedel 条件，学会判断一个弱峰究竟约束了什么。
读推导与实例 ↗取向矩阵与欧拉角：亲手把一个晶向从晶体系转到试样系
从基向量投影构造旋转矩阵，再推导 Bunge 欧拉角组合、逆变换与取向差，为 PF、IPF 和滑移分析建立共同坐标。
读推导与实例 ↗晶体对称、试样对称与错配角：为什么同一个取向有许多组数字
从立方晶体的等价轴出发，推导取向等价、最小错配角与基本区，并说明误用试样对称性怎样制造不存在的织构峰。
读推导与实例 ↗从一条转轴到 Rodrigues 空间：旋转公式、奇点和基本区逐步推导
把取向矩阵背后的几何拆成平行与垂直分量，亲自推出轴角公式，再理解 Rodrigues 坐标为什么有直线纤维、非均匀体积和边界跳跃。
读推导与实例 ↗四元数为什么能求晶粒平均取向：乘法、均值、插值与随机取向
从半角参数和向量旋转推到四元数乘法，再解决符号双重性、晶体对称等价和不同均值定义，最后用两点例子完成平均与插值。
读推导与实例 ↗
PF、IPF、ODF 与概率密度
理解正反映射、投影、归一化及信息损失，先建立几何直觉。
4 篇正文从球面到纸面：极射、等面积和球心投影怎样推导
用一张球面截面图推出三种投影公式，分清保角、保面积与直线成像各自解决的问题。
读推导与实例 ↗PF 极图完整入门：从一粒晶体的几个极，读到多晶体的密度峰
固定晶体中的面族，逐步把它的法向转换到试样坐标，解释散点、等密度线、纤维环、峰强与实验读图顺序。
读推导与实例 ↗IPF 反极图与 IPF 色图：固定 ND 以后，颜色到底在说什么
用逆旋转推出 IPF，解释标准三角形和颜色编码，并演示同色晶粒为什么不一定拥有同一个完整取向。
读推导与实例 ↗ODF 取向分布函数：从体积分数定义到欧拉截面，完整推导一次
从微小取向范围占多少材料出发，推出 ODF 归一化、sinΦ 体积元、PF 与 ODF 的积分关系，以及 EBSD 核密度估计。
读推导与实例 ↗
从测量计数到可信极图
逐步解释深度、背景、离焦、误差、TOF 与峰重叠。
5 篇正文织构测量：从衍射计数到可信的极密度
把衍射强度、背景、离焦修正、球面积分和取样代表性连起来，理解为什么一张漂亮的极图仍可能测错。
读推导与实例 ↗XRD究竟看到了多深：吸收、反射权重、薄膜与织构梯度
从每一小层的射线衰减推出反射信号的深度分布，区分穿透长度、95%信息深度和真实体积平均，并解释不同极图为何可能混入不同深度。
读推导与实例 ↗从计数到 m.r.d.：背景、离焦、误差传播和极图归一化完整演算
把一次极图测量当成有几何和统计条件的计数过程，逐步计算净强度、校正因子、标准误差与球面面积归一化，说明缺测区为什么不能当作零。
读推导与实例 ↗角度、能量和飞行时间：三种衍射谱怎样变成同一套织构信息
从 Bragg 定律分别推到角度色散、能量色散与中子飞行时间，给出单位换算和分辨率传播，并用 HIPPO 的真实研究解释探测器覆盖与取向分辨率。
读推导与实例 ↗峰重叠与多相织构：从两条峰的线性方程走到 Rietveld 联合分析
解释峰面积、相分数和取向密度怎样同时进入衍射强度，亲手判断哪些重叠峰可分、哪些原则上不可辨识，再建立多相分析的证据链。
读推导与实例 ↗
从球谐展开到极图反演
从基函数推导积分变换、对称约束、零空间和不完整极图求解。
7 篇正文球谐展开从头推：一张极图怎样变成一组系数
从圆周傅里叶级数走到球面上的勒让德方程，亲手求出最低几阶、系数、归一化和截断误差。
读推导与实例 ↗广义球函数不再跳步：从旋转球谐基到 Bunge 的 ODF 展开
把广义球函数理解成旋转作用于球谐基时的矩阵元素，从而推出乘法、正交、系数提取和傅里叶计算。
读推导与实例 ↗对称性怎样进入展开：从群平均推到被保留的系数
用四重轴、立方二阶消失和四阶不变量手算，解释对称基、取向多重性以及错误施加试样对称的后果。
读推导与实例 ↗PF 怎样反演 ODF：积分、级数、鬼峰与正则化
把极图反演拆成可跟随的数学步骤，理解 Bunge 级数与直接法分别求什么，以及为何“重算极图吻合”还不够。
读推导与实例 ↗从 ODF 推到 PF 再反演：把积分、系数关系与鬼峰逐步接起来
推导极图的弱形式和球谐系数关系，用一个可手算的零空间反例区分数据约束、正值约束与模型补全。
读推导与实例 ↗不完整极图怎么求 ODF：把掩膜、归一因子和最小二乘一起推完
从缺失角域破坏正交开始，逐步建立联合归一化方程，演算一个小系统，并解释权重、条件数和正则化。
读推导与实例 ↗WIMV、ADC与直接反演：从取向小格的体积分数推到一次可手算迭代
不借助级数系数，直接建立取向格到极图格的投影，用两格算例走完比值修正、几何平均与重归一，再区分ADC、最大熵、Poisson模型和核函数优化。
读推导与实例 ↗
组分、纤维与真实比例
把峰宽、峰高、多重性与正确测度下的积分联系起来。
2 篇正文从滑移协调到织构演化
推导形变运动学、Taylor/Bishop–Hill、松弛约束和再结晶竞争。
6 篇正文变形与再结晶织构：晶粒为什么会转向某些位置
从滑移引起的形状改变与晶格转动，连接 FCC、BCC、HCP 的变形、回复、再结晶和相变织构。
读推导与实例 ↗从滑移位移到晶格转动：把塑性运动学推一遍
从一层材料相对另一层的位移写出滑移张量，区分形状变化、材料线转动与 EBSD 晶格取向变化，并完成一个有限剪切算例。
读推导与实例 ↗Taylor 与 Bishop–Hill：最小滑移功为什么等于最大应力功
将多滑移写成线性约束，推导最小耗散与屈服面支持函数的对偶关系，并用 FCC 〈001〉拉伸做一个能手算到结果的例子。
读推导与实例 ↗松弛约束与取向流：为什么初始织构会留下记忆
把 RC、CC、PC 模型还原成明确约束，再从概率守恒推导 ODF 的演化，理解模型怎样改变纤维、峰宽和初始织构的影响。
读推导与实例 ↗再结晶织构怎样形成：形核、迁移、钉扎和竞争的逐步推导
把储存能差变成迁移驱动力，再推导生长半径和体积分数，解释为什么相同最终织构不能唯一分开形核选择与长大选择。
读推导与实例 ↗Σ7 与晶界迁移：从重合点阵推到原子跳跃，再辨清模型边界
以书中约 40°〈111〉选择长大模型为线索，推导 Σ7 的几何、最近距离与 Arrhenius 因子，说明几何特殊性为何不能直接等同于最快晶界。
读推导与实例 ↗
方向性能与工程应用
从多晶模型到r值、弹性、磁性与真实制耳论文。
5 篇正文从 Sachs、Taylor 到材料性能：织构怎样进入力学计算
推导取向变换、塑性协调、Taylor 因子和弹性平均，再解释 r 值、制耳与微织构为什么不能只由一个峰判断。
读推导与实例 ↗r 值从哪里来：从宽厚收缩推到 Taylor 变分和在线估计
用功共轭关系解释为什么对横向收缩比求最小功，再给出数值手算、误差传播及在线衍射估计的完整逻辑。
读推导与实例 ↗从 ODF 到弹性与磁性：张量旋转、均匀化和低阶系数
推导为什么晶体性质需要先旋转再平均，解释 Voigt、Reuss 与球谐系数加权的意义，并用立方晶体展示有织构也未必产生某种各向异性。
读推导与实例 ↗三本书的应用线索：硅钢、铝箔、深冲钢与相定量
沿着方向性物性、衍射选择性和塑性协调，推导织构在工程问题中的作用，并区分定性解释与定量模型。
读推导与实例 ↗论文案例：铝板为什么出现四耳、六耳甚至八耳
以 Engler 与 Hirsch 的铝杯研究为入口，逐步搭建“取向分布—方向塑性—圆杯形状”的解释，而不是只背 Cube 与制耳的对应。
读推导与实例 ↗
三维X射线与非衍射取向推断
从斑点几何、波动和偏振推导不同表征能提供的约束。
2 篇正文相变形变与织构记忆
区分晶格对应、取向关系、相容剪切、惯习面和变体选择。
2 篇正文改变参数，检查推导
把难点放到图上
可用键盘操作滑块。
全部是有公式的教学示意。
跟着推导 · 教学几何
PF 与 IPF：正向与反向映射
固定晶体 [001] 看它指向试样哪里；再固定试样 ND，反问哪条晶体方向指向它。拖动三个角，观察哪一张图保持不变。
R = Rz(φ₁) Rx(Φ) Rz(φ₂)，晶体 → 试样
PF 向量 = (0.470, -0.671, 0.574)；IPF 向量 = (0.280, 0.770, 0.574)
r = tan(θ/2)；屏幕位置 = (r cosψ, r sinψ)
为什么改变 φ₂，左图不动？
绕晶体 [001] 自身旋转不改变该方向，所以单个极无法记录这一个自由度。右图在晶体坐标中记录 ND 的方向，会随 φ₂ 改变。反过来，绕试样 ND 的 φ₁ 不改变右图。这正是两种投影都丢失一项信息的几何原因。
只显示一个指定极及一个反向方向；右图为未按晶体对称折叠的方向圆盘，便于比较，不能当作标准 IPF 色键。均为几何示意。
跟着推导 · 教学几何
ODF：密度为什么不等于比例
完整 SO(3) 的 Bunge 参数范围中，固定 Δφ₁ = Δφ₂ = 60°，让一个宽 20° 的 Φ 小区间上下移动。Euler 图上同样大小的方块，并不代表同样多的随机取向。
dμ = sinΦ dφ₁ dΦ dφ₂ / (8π²)
μ(小区间) = (60/360) × [cos(35°) − cos(55°)]/2 × (60/360)
随机取向基线 = 0.341%；若局部 f ≈ 5，则该区材料比例 ≈ 1.705%
为什么 f = 5 不能直接读成 5%？
f 是单位取向空间体积上的相对密度。实际比例还必须乘该区域的取向空间体积，或者对变化的 f 做积分。这里仅计算一个小区域的局部积分，没有假设整个 ODF 都等于 5；完整 ODF 仍需满足积分为 1。
采用完整旋转空间以解释 Haar 测度；实际按晶体/试样对称约化后，须使用对应归一化，不能直接照搬这里的区间常数。示意曲线不是材料实测 ODF。
跟着推导 · 信息怎样丢失
测得的曲线相同，原分布可以不同
先用圆周上的简单模型理解“零空间”。仪器若只记录相反两个方向的平均，能否分辨隐藏的方向偏好？改变 a，看真实分布与测量曲线各怎样变化。
f(θ) = 1 + a cosθ，|a| ≤ 1 保证非负；∫₀²π f(θ)dθ/(2π) = 1
P(θ) = [f(θ)+f(θ+π)]/2 = 1，因为 cos(θ+π) = −cosθ
此处 f(60°) = 1.300，反向密度 = 0.700，平均仍为 1.000
增加采样点，或要求分布非负，能恢复 a 吗？
都不能。无论测多少角度，P 始终为 1；而区间 −1≤a≤1 内每个解都已非负。把 a 选成 0 可以是某种平滑或最小范数选择，但不能说测量证明真实 a=0。需要能区分相反方向的新观测，才能增加这项约束。
这是圆周平均算子的严格教学例，不是某晶体的完整 ODF。真实 PF–ODF 变换还含绕极点积分、SO(3) 基函数与晶体/试样对称；请接着读球谐与极图反演章节。
从输入到结果的使用教程
每一步都有目的与输出，
参数设置能回到相应公式。
宏观织构测量与取样规划教程
从研究体积出发，组织衍射修正或 EBSD 面积统计，并在相同坐标与权重下比较。
- 取样位置与坐标图
- 归一化 PF 与缺测掩膜
- 采样与修正记录
ODF、组分积分与织构比较教程
分清从 PF 反演和从 EBSD 估计两条路径，输出可解释的密度与比例。
- 统一参数的 ODF 截面
- 组分与纤维比例表
- 回投影或带宽解释
用织构解释方向性能与制耳的教程
从取向变换与多晶约束出发，连接单晶响应、方向塑性和工程结果。
- 模型输入与假设表
- 方向性解释链
- 原始研究与教学推导对照
旋转表示、均值与插值教程
从一个有效旋转出发，在轴角、四元数与 Rodrigues 表示之间转换，再计算有明确定义的统计。
- 表示约定表
- 均值、离散度和权重
- 插值路径与奇异情况说明
球谐系数与极图反演教程
把连续积分变换写成带权线性方程，检查不可辨识分量、正则化与归一化。
- 系数与约定
- 回投影与有效掩膜
- 不可辨识性和先验说明
Taylor、Bishop–Hill 与 r 值计算教程
将规定形变写成滑移协调方程，通过最小塑性功和对偶应力理解取向影响。
- 协调方程与滑移代价
- 功/Taylor因子及方向性
- 模型假设与适用范围
三本书，怎样对照阅读
专著 01
Introduction to Texture Analysis: Macrotexture, Microtexture, and Orientation Mapping ↗
Olaf Engler; Stefan Zaefferer; Valerie Randle · 2024 · 第 3 版
以提供的 581 页 PDF 为底本。第 1 章自印刷页 3 起，PDF 页码通常为印刷页码加 19；全部页序已覆盖，正文、图注、附录与书目已读；课程按第 2–13 章主题交叉展开，关键公式回看原页。
本课程中的作用：连接晶体几何、宏观织构、微区取向、现代 EBSD 和界面。先读第 2 章，再用第 5 章理解 ODF，第 7–12 章查分析方法。
专著 02
晶体材料织构定量分析 ↗
毛卫民；张新明 · 1993 · 第 1 版；所供扫描本为 1995 年第 2 次印刷
ISBN 9787502411060；243 页扫描本，无文字层。版权页记载 1993 年 3 月第 1 版、1995 年 7 月第 2 次印刷；正文 PDF 页码为印刷页码加 8。全书正文、图注、附录与书目按页序阅读；OCR 用于定位，关键公式核对扫描原页。Bunge 展开、反演、塑性和工程应用均有分步推导。
本课程中的作用：帮助追踪 Bunge 展开、鬼峰、组分定量与多晶塑性模型的数学结构；第 6 章把理论接到硅钢、铝箔、深冲和相定量。
专著 03
Microtexture Determination and Its Applications ↗
Valerie Randle · 2003 · 第 2 版；所供本含 2008 年平装版说明
以提供的 146 页 PDF 为底本，正文印刷页码加 8 对应 PDF 页码。全书含附录、书目和索引已按页序读完，全部正式图号已回看；测量规划、分区、晶界与报告深入展开，历史设备参数单独辨析。
本课程中的作用：把取样、制样、测量规划、统计与局部组织连接起来。读微织构分析时，始终追问总体、空间位置和统计权重。
以这里列明的版本为阅读底本，正文按专题交叉组织。扫描本的 OCR 只用于定位，公式按几何定义和可核对原文重推；旧版设备参数与术语用法另作区分。提供原创中文导读，不分发原书、扫描页或全文提取物。
论文、方法与官方文档
BibTeX ↓真实应用案例分别连接铝板制耳、钛合金滑移、铜拉伸 GND、母相重构和微织构疲劳。文献按其作用引用；公开摘要或方法入口能够支持的内容，与需到原文进一步核对的细节分开。
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DOI: 10.1016/j.actamat.2013.08.027 - Assessment of local deformation using EBSD: quantification of accuracy of measurement and definition of local gradient ↗Masayuki Kamaya · Ultramicroscopy 111, 1189–1199 (2011)
DOI: 10.1016/j.ultramic.2011.02.004 - Polycrystal-plasticity simulation of six and eight ears in deep-drawn aluminum cups ↗Olaf Engler; Jürgen Hirsch · Materials Science and Engineering A 452–453, 640–651 (2007)
DOI: 10.1016/j.msea.2006.10.108
软件和术语入口
NIST DLMF §14.30：Spherical and Spheroidal Harmonics ↗球谐函数定义、正交关系与球面 Laplace 算子的本征函数；注意复共轭、相位和归一化约定。MTEX：ODF Estimation from EBSD Data ↗从离散取向到核密度，区分按像素与按晶粒的权重及带宽。MTEX：Kernel Average Misorientation ↗官方定义、邻域阶数、阈值和晶粒 ID 的作用。示例参数属于示例材料。MTEX：Grain Orientation Parameters ↗GOS 采用相对晶粒均值取向的平均偏离角；GAM 与 GROD 分开定义。MTEX：Geometrically Necessary Dislocations ↗曲率、位错系统、能量权重与单位转换；二维欠定问题不因软件求解而消失。MTEX：EBSD Tutorial ↗官方导入、相表、坐标、取向图和晶粒分割示例；先核对所装版本的接口。MTEX：Bunge Convention ↗晶体到试样映射与 Bunge 的反向映射之间的关系。IUCr：Reciprocal lattice ↗倒易点阵的定义；本课程使用不含 2π 的倒易基。Oxford Instruments：Dislocation Density Analysis ↗厂商官方功能说明，用于理解输出和限制，不作为独立材料机制证据。
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三书阅读导图与公式辨析 ↓