织构分析：相变织构
变体为什么不是随机出现：群计数、双取向关系和织构记忆
从母子相对称群推导独立变体数，再把面积权重、相变应力功和邻晶约束接入织构预测。
先记住这三点
- 正向子变体数和反向母相候选数取决于两侧群的大小，可能不同。
- 共同密排面分组与Bain分组描述不同层面的共同性。
- 织构记忆需要选择机制，不能只凭OR的存在推出。
先固定 OR 的方向
沿用Q把子相坐标变到母相坐标的约定，Rc=RpQ。母相对称操作Sp可产生候选Rc,k=RpSpQ；但子相有自己的对称群Gc，所以两个候选只要相差一个子相对称操作就代表同一物理取向。
因此“列出母相的全部对称操作”之后还要对子相对称去重。编号V1、V2只是列表顺序，跨论文或软件必须用矩阵、平行面和方向对应，不能只对编号。
用稳定子群推导变体数
两个母相操作S1、S2生成同一子取向，意味着S1Q=S2QSc，其中Sc∈Gc。左乘S2⁻¹、右乘Q⁻¹得到S2⁻¹S1∈Gp∩QGcQ⁻¹。令这个共同子群为H，则每组|H|个母相操作生成同一子变体。
故正向独立变体数Nparent→child=|Gp|/|H|。反向使用Q⁻¹时，公共子群大小相同，得到Nchild→parent=|Gc|/|H|。这正是为何两种方向的数量可以不同；不是软件漏算。这里用的是适当的正旋转点群，不把镜面反射直接当取向矩阵。
Burgers 关系的12和6怎样同时成立
β的立方正旋转群有24个元素，α的六方正旋转群有12个元素；理想Burgers关系的共同子群有2个。因此固定一颗β，可形成24/2=12个α变体；固定一颗α，反推β有12/2=6个独立候选。
几何上，从β出发有六个无向{110}面，每个面有两条可用〈111〉方向，给12个α。教材中有将“6个面”和“6个反向变体”混写的表述，实际推导必须将相变方向写在箭头上。
钢中 CP 组与 Bain 组的差别
理想KS关系常有24个子变体。四个母相{111}密排面各关联六个变体，形成四个CP组；Bain对应可选三条母相〈001〉作为收缩轴，形成三个Bain组，每组包含八个KS变体。
它们是同一24个变体的两种分组方式。组织中的packet通常与共同密排面有关，block还涉及局部Bain关系和实际形貌；并不能把整个母晶中所有相同Bain标号、相互不连通的区域都合并成一个形貌块。
从母相 ODF 推到无选择子相 ODF
先在母相物理取向基本区Ωp中为每颗母晶取唯一代表Rp，归一化母相概率测度记为dPp。对它枚举去重后的子变体[Rp Sp,v Q]c，方括号表示按子相对称归并，条件概率pv(Rp)满足Σv pv=1。任一子相取向区域B的概率是Pc(B)=∫Ωp Σv pv(Rp)·1{[Rp Sp,v Q]c∈B}dPp(Rp)。这是一条可直接照着做的规则：将每份母相概率按变体权重分流，归入子相基本区对应的箱。
令B为整个子相取向空间，指示函数都为1，立即得到Pc(B)=∫ΩpΣv pv dPp=1。等概率pv=1/N把一颗尖锐母相分散到N个允许位置，但不会自动得到随机织构。离散EBSD按晶粒体积或面积权重执行同一投送，再作对子相对称一致的核平滑。不能把母相ODF在整个SO(3)上的对称复制与SpQ列表直接相加：那会把母相的等价代表重复计入，也可能破坏子相对称。
用小例子区分形核选择与长大选择
一颗母晶理论有12种α变体。教学例中有4种变体实际出现，按数量各占25%；其中一种长成体积的70%，其余三种各10%。在已经出现的四种之间，事件数相同，体积权重却有明显差别；对全部十二种而言，未出现的八种及样本量仍必须纳入形核选择判断。
如果只从最终面积分数给出“该变体更易形核”，结论超出了数据。应把出现次数、平均尺寸和体积权重分开，或使用原位观察区分形核阶段与后续长大阶段。
双取向关系为什么减少候选
新相在两个母晶的交界处形核时，可能同时接近两侧母相允许的OR。第一侧生成候选集合C1，第二侧生成C2；在测量和实际OR散布的容差内，接近交集C1∩C2的子取向会较少。
定量可用代价E(Rc)=w1 minv d(Rc,Rp1Qv)²+w2 minw d(Rc,Rp2Qw)²。这里d是对称化旋转距离，权重代表所建模型对两侧的重视程度。只有一侧拟合好、另一侧误差很大的解不能叫双OR解；实际OR也可能为两侧折中而略偏离理想值。
应力功怎样提供另一种选择机制
在小应变近似下，变体v的相变应变εtr,v与外加应力σ的机械作用项为−σ:εtr,v。拉应力沿z时该项为−σzz εtr,zz，沿加载方向伸长较多的变体可获得更有利的机械能贡献。
若用不变面表示Fv≈I+av⊗nv，则εtr,v≈(av⊗nv+nv⊗av)/2。所有方向必须转到同一试样坐标。只比较OR旋转角不能算应力功；还需要形变梯度或相变应变，以及局部应力。有限变形则需要一致的应力与应变功共轭定义。
织构记忆与真实案例如何读
第3版书印刷页444–445讨论了钢中循环α→γ→α与双KS关系，以及钛合金中双Burgers关系和宏区形成。织构记忆表示某些原有取向在相变后被重新偏好，而不是原子或晶粒必须一模一样回到原处。
分析实际文献时先区分总体ODF恢复与同一空间晶粒恢复：前者只需统计相似，后者必须有原位空间追踪或可靠重构。对钛合金宏区，还需把变体选择与母相织构、晶粒空间邻接共同分析；不能仅因α极图出现峰便认定存在某一尺寸的宏区。
母相重构怎样用这套推导
给定测到的子取向Rc，先枚举它的子相等价代表RcSc，再用固定的参考OR反推Rp(Sc)=RcScQ⁻¹，最后按母相右对称Gp去重。独立候选数为|Gc|/|Gc∩Q⁻¹GpQ|。不能直接倒用正向SpQ列表：Rc(SpQ)⁻¹=RcQ⁻¹Sp⁻¹只差母相对称，去重会错误地只剩一个。多颗邻接子晶粒支持共同候选，才增强重构可信度；单个α的六个β候选不能被一种软件颜色掩盖。
报告重构覆盖率、OR误差、每个母晶的独立变体支持和未分配区。若采用理想OR还是实测优化OR会显著改变结果，就应把这项敏感性写入结论；重构地图代表受晶体学约束的推断，而非直接测得高温组织。
来源与延伸阅读
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