织构分析：相变推导
相变晶体学的核心推导：Bain 伸缩、不变面与 PTMC
从晶格长度变化和界面连续性推到F=I+a⊗n，解释为什么取向关系、晶格对应和惯习面不能混为一谈。
先记住这三点
- Bain 对应规定原子点阵怎样配对，OR规定最终晶体怎样相对放置。
- 不变面要求面内每一条矢量都不伸长、不转动。
- PTMC 是带输入与假设的相容模型，EBSD不能单独确定其中全部量。
先分清三个矩阵
晶格对应告诉我们母相的哪些点阵矢量变成子相的哪些矢量；它涉及长度和夹角改变。取向关系Q只比较母、子相笛卡尔坐标的旋转，是正交矩阵。形变梯度F则描述一个材料小区域由初态到终态的整体形状变化，通常不正交。
一个FCC晶格可重新选胞写成BCT形式，这还不代表材料已经发生相变。只有实际改变胞长使其满足目标晶格参数，才产生Bain伸缩。把“重新选坐标”和“真实变形”分开，是后续推导不混乱的起点。
由 FCC 内嵌 BCT 胞算 Bain 伸长
FCC晶格常数aγ，在适当正交基下内嵌BCT胞的两条横向边长为aγ/√2，纵向边长为aγ。目标BCT子相参数为aα、cα，于是B=diag(√2aα/aγ,√2aα/aγ,cα/aγ)。
设教学值aγ=0.360 nm、aα=cα=0.286 nm，则两横向主伸长约1.1235，纵向约0.7944；工程应变为约+12.35%、+12.35%、−20.56%。这些值仅是算例，实际计算要采用相变温度和成分对应的晶格参数。
体积变化不能简单把三个百分数相加
有限变形体积比J=detB=2aα²cα/aγ³。上述算例J≈1.003，接近0.3%的体积增加，而把三个工程应变相加会得到约4.1%，误差很明显。原因是体积同时包含各方向伸长的乘积项。
小应变才有det(I+ε)≈1+trε。Bain伸缩含约20%的主收缩，不能直接使用这个一阶公式作精确体积计算；也不能把某个材料的体积变化常数搬到所有钢中。
从平面连续性推导秩一形式
令母相未变形F−=I，界面单位法向n。界面内任意切向量t满足n·t=0。若界面两侧连在一起而不撕开，面内位置差应一致，因此(F+−I)t=0。
一个线性映射若把整张二维切平面都送到零，只能沿剩余的法向有非零作用。令a=(F+−I)n，则任意向量x可分成面内部分和(n·x)n，故(F+−I)x=a(n·x)，即F+=I+a⊗n。这是相容条件的推导，不是经验拟合。
不变面应变包含剪切与体胀
将a分解为a=γd+δn，其中d⊥n、|d|=1，便有F=I+γd⊗n+δn⊗n。对面内t，Ft=t；对法向n，Fn=(1+δ)n+γd。于是界面内不变，但界面外可以产生剪切和法向伸缩。
利用矩阵行列式引理det(I+a⊗n)=1+n·a=1+δ。因此不变面应变不意味着总体形状完全不变，也不一定体积不变。只在δ=0时，这个简单模型才是等体积纯剪切。
手算一张保持不变的面
取n=e3，a=0.2e1+0.02e3，F=[[1,0,0.2],[0,1,0],[0,0,1.02]]。界面z=0上的点(x,y,0)保持不动；点(0,0,10 μm)变为(2,0,10.2) μm。读者可直接看到剪切位移和法向膨胀。
detF=1.02，等于1+a·n；FᵀF却不等于I，说明它不是取向旋转。这也说明用EBSD测得的OR矩阵去代替F，会丢失与表面浮凸和相变应变直接有关的信息。
为什么单纯 Bain 伸缩加旋转通常不够
若F=RU，R为刚体转动、U为正定对称伸长，则FᵀF=U²。旋转不改变主伸长。要让一整个平面不变，经典单界面相容条件要求排序后的中间主伸长λ2=1，同时λ1≤1≤λ3。
一个直观解释是：不变面中总能找到同时垂直a和n的方向e，它满足Fe=e且Fᵀe=e，因此FᵀFe=e，至少有一个主伸长等于1；其余两个一般一压一伸。Bain算例的主伸长为0.7944、1.1235、1.1235，没有中间值1，单加刚体旋转不能解决。
晶格不变剪切怎样进入 PTMC
若剪切系统在Bain伸缩后的构形中定义，先写S=I+s d⊗n、F=RSB，d、n是该构形中的单位方向和法向。若要写F=RBL，必须把剪切拉回母相参考构形：L=B⁻¹SB=I+s(B⁻¹d)⊗(Bᵀn)。拉回后的两向量仍垂直，但通常不再为单位向量；重新归一化时须同步调整s。这样才不会把子相滑移系直接误填进母相坐标。滑移或孪生的区域平均可改变宏观形状而保留相应晶格类型。
计算流程是：给晶格参数确定B；给候选剪切系统确定L(s)；对每个s算C=(BL)ᵀBL；寻找中间特征值为1的s；再求R、a、n，使RBL=I+a⊗n。由此得到惯习面及形变方向，而OR还需结合晶格对应正确换算。
为何是候选模型而非唯一答案
可选的滑移、孪生、单剪切或双剪切机制不同，模型可能给不同解，甚至无可行解。邻晶约束、弹性畸变和不均匀塑性会使真实关系偏离理想值。接近KS、NW或GT的OR，并不能单独证明某一种原子运动路径。
惯习面是相变推进时母子相的界面；完全相变后两子变体相撞形成的边界，不一定保留原惯习面。用后者直接检验PTMC，可能一开始就比较了不同对象。
真实案例与学习操作
剑桥Swallow与Bhadeshia的贝氏体表面位移研究用独立的表面浮凸观察检验不变面应变特征。这提示应用时至少要把晶体学关系、真实界面和形状变化联系起来，而不能只看一种EBSD色图。PTCLab论文则提供从晶格参数、剪切模型到OR和惯习面的计算入口。
初学者先完成本章两个手算，再用软件只改变一个输入：例如cα或剪切系，记录惯习面和OR怎样变化。结果应同时给输入、候选机制、相容残差和实测比较。不要只给一组软件吐出的高指数面而不说明它从何而来。
来源与延伸阅读
以下链接用于核对概念、标准状态或原始文献。本页为中文教学整理，不复制受版权保护的标准正文。