织构分析：织构数学推导
取向 Gaussian 组分的完整推导：宽度、峰高与体积分数怎样换算
从旋转距离和 SO(3) 的轴角体积元推导组分归一化，解释 Gaussian 拟合、多重性、纤维与重叠分量。
先记住这三点
- 取向距离应由相对旋转和对称性求得，不能把三个欧拉角直接作欧氏距离。
- 旋转 Gaussian 的归一化含 1−cosω，三维取向峰的体积随小宽度的三次方变化。
- 组分拟合的份额是模型参数，指定角容差的区域积分则是另一个量。
用相对旋转定义两个取向的距离
设中心取向 R₀、待比较取向 R，相对旋转 Δ=R₀ᵀR。旋转矩阵的特征值为 1、e^(iω)、e^(−iω)，因此 trΔ=1+2cosω，得到 ω=arccos[(trΔ−1)/2]，ω∈[0,π]。计算机中需把括号值夹回 [−1,1]，防止浮点舍入使 arccos 无定义。
晶体对称下，要遍历相应等价代表并取最小角；若研究的对象还允许试样对称，同样将其纳入。三个欧拉角差的平方和不是这个距离：例如 Φ=0 时，φ₁与φ₂有组合冗余，单独改变两个角可能只是同一个旋转的另一种写法。
先定义峰型，再解释它的宽度
取一个仅依赖最小旋转角的教学峰 S(ω)=A exp[−ω²/σ²]。此处 σ 是 e⁻¹ 半宽：ω=σ 时峰高降到 A/e。半高位置 ωhalf=σ√ln2，因此跨过峰中心的一维剖面全半高宽 FWHM=2σ√ln2。若别的文献写 exp[−ω²/(2s²)]，则 σ=√2s。
这正是阅读毛书 §3-7 时要特别核对的记号：其 Gaussian 参数并不自动等于统计学一维正态分布的标准差。对旋转角的实际概率分布，还需乘取向空间的面积因子；峰型 f 随角的函数与“测得角度落在某环壳的概率”不是同一曲线。
轴角体积元为什么含 sin²(ω/2)
单位四元数写 q=(cos(ω/2),n sin(ω/2))，n 是转轴单位向量。四元数位于四维空间的单位三球 S³；极角为 ω/2，所以体积元含 sin²(ω/2)d(ω/2)dΩn。q 与 −q 表示同一旋转，取 ω∈[0,π] 并正确归一后得到 dμ=[1/(2π²)]sin²(ω/2)dωdΩn。
对全部转轴积分 ∫dΩn=4π，径向测度成为 dμrad=[2/π]sin²(ω/2)dω=[1/π](1−cosω)dω。检查 ∫₀π(1−cosω)dω/π=1，常数正确。这一步就是把三维旋转积分变成一维角积分时不能丢掉的因子。
归一化常数一步一步算
对未加对称的中心峰，积分 I(σ)=∫exp(−ω²/σ²)dμ=(1/π)∫₀πexp(−ω²/σ²)(1−cosω)dω。若想让该核积分为 1，取 A=1/I；若它代表体积分数 M，则峰幅为 A=M/I。宽峰必须计算这个有限区间积分。
当 σ≪π 时，可把上限近似延到∞。用 ∫₀∞e^(−ω²/σ²)dω=√πσ/2 与 ∫₀∞e^(−ω²/σ²)cosωdω=(√πσ/2)e^(−σ²/4)，得到 I≈σ[1−e^(−σ²/4)]/(2√π)。继续展开指数，I≈σ³/(8√π)。所有角都要用弧度。
手算峰高不等于份额
取两个很窄的教学峰，中心不同且远离对称重复区，宽度分别为 σ 和 2σ，峰顶幅值相同。利用 I∝σ³，它们的体积分数近似相差 8 倍。若份额反而相同，则较宽峰的峰高约为较窄峰的 1/8。
这个立方比例比一维示意图的“面积等于高乘宽”更强，因为完整取向有三个自由度。前提是小角、孤立、近似各向同性峰。对较宽峰、对称重叠或沿纤维延长的分布，必须回到准确积分，不能仍机械使用八倍关系。
加入晶体对称时怎样避免重复计数
一种稳妥做法是先把单位积分核 K(R,R₀) 对允许的左、右群操作作平均：Ksym(R,R₀)=ΣS,C K(SRC,R₀)/(|Gs||Gc|)。每一项积分都是 1，平均后仍为 1。即使特殊中心产生重复等价代表，分子和分母同样包含重复项，归一仍保持正确。
若改为只对不同的峰中心求和，则必须按不同中心的数目 Z 归一。毛书中的多重性因子 Z 一般为 96，特殊中心可更小，服务于这一点。不要既对所有对称峰求和、又额外把拟合份额乘 Z；那会把同一份材料重复算多次。
混合模型为什么能让 M 直接成为份额
把每个对称核都归一为 ∫Kᵢdμ=1，写 f(R)=M₀+ΣᵢMᵢKᵢ(R)，约束 Mᵢ≥0、M₀≥0、M₀+ΣMᵢ=1。积分后立刻得到各参数代表随机背景与相应模型组分的体积分数。中心和宽度描述位置与分散，M 描述多少材料。
如果只把若干未归一峰 Aᵢexp(−ωᵢ²/σᵢ²) 相加，Aᵢ 就不能叫体积分数。应先计算其含对称的积分再求份额。组分重叠时，模型允许同一取向位置有多个核的贡献；这是一种概率分解，不代表一个实际晶粒被确定地同时分到了两个互斥类别。
固定容差区域与拟合组分是两种可比较但不同的定义
给理想取向设置 ω≤ωc 的区域 Ω，积分 VΩ=∫Ωf dμ，得到该角容差内的材料份额。它包含随机背景与其他组分在该区域的尾部，也可能只截取目标核的一部分。拟合参数 Mᵢ 则表示整个核的面积，通常延伸到 Ω 以外。
因此应报告“距 Cube 不超过 15° 的积分份额”或“所用 Gaussian 混合模型的 Cube 参数”，不要都含糊称为 Cube 含量。若两个容差区重叠，要说明优先归类、最近中心或并集规则；各区单独积分后直接相加，可能超过总体份额。
纤维组分为什么不能按孤立点峰处理
完整取向中的理想纤维满足 Rh=y，即一根晶体轴固定对准一根试样轴，仍允许绕这根轴自转。它在 SO(3) 中是一维曲线，零宽时本身体积为零。实际纤维有横向角宽，应对曲线周围的管状邻域积分。
可沿纤维取中心 R(γ)，定义 Kfiber(R)=(1/2π)∫Ksym(R,R(γ))dγ。由于每个核积分为 1，纤维核也自动归一。若沿 γ 的强度不均，可用归一权重 w(γ) 替代均匀平均。小宽度下，长而近似均匀的纤维主要有两个横向宽度，份额不再服从孤立三维峰的 σ³ 比例。
真实案例怎样同时讲峰高、宽度和份额
毛书图4-3把工业纯铝不同冷轧量的组分体积分数与散布宽度分别列出：轧制过程中组分可一边增多、一边变窄，所以峰值变化同时包含数量和集中程度。图4-6对工业纯铁的 α、γ 纤维采用相似思路。读这类图时，应把三个指标逐一对应到定义。
重做分析时，可以先固定一套物理合理的中心，再估宽度与份额，随后检查允许中心小幅移动是否改变结论。若增加一个高度重叠组分就让各 M 大幅跳变而总 PF 几乎不变，说明分解不稳定。应报告可辨认的总组分或范围，避免给无法由数据支撑的精确百分比。
来源与延伸阅读
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